（1）康托的連續統基數問題。

1874年，康托猜測在可數集基數和實數集基數之間沒(méi)有别的基吧場數，即著名的連續統假設。1938年，僑居美國(gu報物ó)的奧地利數理邏輯學(xué)家哥德爾著個證明連續統假設與ZF集合論公理系統的無矛盾性。1963廠黑年，美國(guó)數學(xué)家科思（P.Choen）證明連續統假設與讀房ZF公理彼此獨立。因而，連續統假設不跳友能(néng)用ZF公理加以證明。在這(美的zhè)個意義下，問題已獲解決。

（2）算術公理系統的無矛盾性。

歐氏幾何的無矛盾性可以歸結為算術公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形紙水式主義計劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發(fā)表不完爸是備性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，市樹1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術公理系統的無矛盾性報呢。

（3）隻根據合同公理證明等底等高的兩(liǎng)個四面(miàn)體有相等之畫長體積是不可能(néng)的。

問題的意思是：存在兩(liǎng)個登高等底的四的少面(miàn)體，它們不可能(néng)分解為有限個小四面(miàn就紅)體，使這(zhè)兩(liǎng)組四面(miàn)體彼此全等德思（M.林去Dehn）1900年已解決。

（4）兩(liǎng)點間以直請吧線為距離最短線問題。

此問題提的一般。滿足此性質的幾何很多，刀市因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯數學(xué)家波格列洛夫一舊（Pogleov）宣布，在對(duì)稱距離情況秒報下，問題獲解決。

（5）拓撲學(xué)成(chéng)為李群的條件（拓撲群）。

這(zhè)一個問題簡稱連續群的解析性，即房飛是否每一個局部歐氏群都(dōu錢藍)一定是李群。1952年，由格裡(lǐ)森（Gleason）、蒙哥馬利（Mon書聽tgomery）、齊賓（Zippin）共同解決。1953年，日本筆章的山邁英彥已得到(dào)完全肯定的結果。

（6）對(duì)數學(xué)起(qǐ)重要作知動用的物理學(xué)的公理化。

1933年，蘇聯數學(xué)金哥家柯爾莫哥洛夫將(jiāng)概率論公理化。後(hòu)來，在量子力學畫村(xué)、量子場論方面(miàn)取得成(chéng)功。但對(duì)物理黑木學(xué)各個分支能(néng)否全盤公理化，很多人有懷疑。

（7）某些數的超越性的證明。

需證：如果α是代數數，β是無理數的代數數書訊，那麼(me)αβ一定是超越數或至少能報是無理數（例如，2√2和eπ）。蘇聯的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德商老國(guó)的施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）1935但相年分别獨立地證明了其正确性。但超越數理論還(há紅書i)遠未完成(chéng)。目前，确定所給的數是否超越數，尚無統一爸你的方法。

（8）素數分布問題，尤其對(duì)黎曼猜想新靜、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。

素數是一個很古老的研究領域。希有銀爾伯特在此提到(dào)黎曼（Riemann）猜想店內、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素數問題。那大黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數問題目前也未最終解決，其最佳結果對拍均屬中國(guó)數學(xué)家陳景潤。

（9）一般互反律在任意數域中的證明。

1921年由日本的高木貞治，1927年由德國(guó)的阿又朋廷（E.Artin）各自給以基本解決。而類域理論至今還(hái)在得空發(fā)展之中。

（10）能(néng)否通過(guò)有限步驟來判定不定方程是爸秒否存在有理整數解？

求出一個整數系數方程的整數根，稱為丢番圖（約210-2弟老90，古希臘數學(xué)家）方程可解。1950年前後(hòu)，美會一國(guó)數學(xué)家戴維斯（Davis）東林、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取影請得關鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費體能羅斯（Philos）對(duì)含兩(liǎng)個未知數的方程取得肯定結道坐論。1970年。蘇聯數學(xué)家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況得文答案是否定的。盡管得出了否定的結果，卻産生了一系列很有價值的副産品在校，其中不少和計算機科學(xué)有密切聯系。

（11）一般代數數域内的二次型論。

德國(guó)數學(xué)家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在2歌弟0年代獲重要結果。60年代，法國(guó)數學(xué)家魏依（A.Weil）站對取得了新進(jìn)展。

（12）類域的構成(chéng)問題。

即將(jiāng)阿貝爾域上的雨線克羅内克定理推廣到(dào)任坐離意的代數有理域上去。此問題僅有一些零星結果，離說呢徹底解決還(hái)很遠。

（13）一般七次代數方程以二變量連續函數之組國白合求解的不可能(néng)性。

七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴光哥于3個參數a、b、c；x=x(a,b,c)。這(不銀zhè)一函數能(néng)否用兩(liǎng)變量函數表示出來？冷船此問題已接近解決。1957年，蘇聯數學(xué)家阿諾爾德（Arno姐煙ld）證明了任一在［0，1］上連續的實函數f(裡地x1，x2，x3)可寫成(chéng)形式∑hi(金下ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，這(zhè)裡(lǐ)hi和ξi為街家連續實函數。柯爾莫哥洛夫證明f(x1，x2紅木，x3)可寫成(chéng)形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+拿雨ξi3(x3))(i=1--7)這吃開(zhè)裡(lǐ)hi和ξi道小為連續實函數，ξij的選取可與f完全無關。1964年，維土錢近斯金（Vituskin）推廣到(dào)連讀畫續可微情形，對(duì)解析函數情形則未解決。

（14）某些完備函數系的有限的證明。

即域K上的以x1,x2,…,xn為自變量從行的多項式fi（i=1,…，m），R為K［X1，…，Xm]上的有理函數F（X1，但請…，Xm）構成(chéng)的環，并且F（f1，…姐媽，fm）∈K[x1，…，xm]有對試問R是否可由有限個元素F1，…，FN志鐵的多項式生成(chéng)？這(zhè)個與代數不變量問你子題有關的問題，日本數學(xué)家永田雅宜于1959年用漂亮的金他反例給出了否定的解決。

（15）建立代數幾何學(xué)的基礎。

荷蘭數學(xué)家範德瓦爾登193舞雪8年至1940年，魏依1950年已解決。

（15）注一舒伯特（Schube跳志rt）計數演算的嚴格基礎。

一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能(火美néng)和這(zhè)四條直線都(d匠木ōu)相交？舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將(jiāng)問題一般化南低，并給以嚴格基礎。現在已有了一些可紅微計算的方法，它和代數幾何學(xué)有密切的關系。但嚴格的基兵算礎至今仍未建立。

（16）代數曲線和曲面(miàn)的拓撲研究。

此問題前半部涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。後(hòu)半部拿煙要求讨論備dx/dy=Y/X的極限環的最信還多個數N（n）和相對(duì)位置，其玩都中X、Y是x、y的n次多項式。草費對(duì)n=2（即二次系統）的情況，1934年福羅獻爾得到(dà做林o)N(2)≥1；1952年鮑廷得到(dào)N(2)≥3；19短城55年蘇聯的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，這(zhè)個曾震動一時(s白也hí)的結果，由于其中的若幹引理被(bèi)否問道定而成(chéng)疑問。關于相對(duì)位置，中國(guó)數學(x照的ué)家董金柱、葉彥謙1957年證明了（E2）不超過(guò小拿)兩(liǎng)串。1957年，中國(g訊裡uó)數學(xué)家秦元勳和蒲上吧富金具體給出了n＝2的方程具有至少3個成(chén內視g)串極限環的實例。1978年，中國(guó)的史能務松齡在秦元勳、華羅庚的指導下，與王明農錯淑分别舉出至少有4個極限環的具體例子。198吃為3年，秦元勳進(jìn)一步證明文能了二次系統最多有4個極限環，并且是（1，3）長和結構，從而最終地解決了二次微分方程的解的結構問題，并為研究希爾伯特第（器我16）問題提供了新的途徑。

（17）半正定形式的平方和表示。

實系數有理函數f(x1,…，xn)對(duì)任意數組（長是x1，…,xn）都(dōu)恒大于或等于0，确定f是否都(dōu)高舞能(néng)寫成(chéng)有理函數的平方和？1927年阿廷已科理肯定地解決。

（18）用全等多面(miàn)體構造空間。

德國(guó)數學(xué)家比貝爾巴赫（Bieber答線bach）1910年，萊因哈特（Reinhart）1928年作出部分北理解決。

（19）正則變分問題的解是否總是解析函數？

德國(guó)數學(xué)家兵雨伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和蘇聯數學(xué)家彼德羅夫現廠斯基（1939）已解決。

（20）研究一般邊值問題。

此問題進(jìn)展迅速，己成(chéng)為一個很大的錯學數學(xué)分支。日前還(hái)在繼讀發(fā)展。

（21）具有給定奇點和單值群的Fu紙校chs類的線性微分方程解的存在性證明。

此問題屬線性常微分方程的大範圍理論。希爾伯特本人于1905年、勒爾（H.Roh有花rl）于1957年分别得出重要結果。1970年法國(guó)數西窗學(xué)家德利涅（Deligne）作女體出了出色貢獻。

（22）用自守函數將(jiāng)解析函數北音單值化。

此問題涉及艱深的黎曼曲面(miàn)理論，1907年克伯（P.K日們oebe）對(duì)一個變量情形已解決而使問題的研究獲重要突多醫破。其它方面(miàn)尚未解決。

（23）發(fā)展變分學(xué)方法的研究。

這(zhè)不是一個明确的數學(xué)問題。20世紀變分法有了很頻雨大發(fā)展。

可見，希爾伯特提出的問題是相當艱深的。正因為艱深，才吸引有志之士去作巨大的努北又力。