人們注意到(dào)克拉茨叠代所是技得的C數列中,取奇數的項更為重要,因此,人們引進(jìn)了簡紅是化克拉茨函數:

　　C(x)=(3x+1)/2^e(x)

　　其中e(x)是3x+1所含的素因子2的個數.例如,當x=29時(shí),3x+1=88=23*11,e(29)=3熱公,對(duì)應的簡化C數列為

　　11,17,13,5,1,1話美,...

    路徑由原來的18減少到(dào)5,更有利于C叠代的研究.

   個還; 一般地,設a,b是正整數,a>1,且b為奇數,廣義克拉茨函數是C(x)=(ax+b)/2^e(x)

    其中x取正奇數,e(x)是ax+b所含素因子2的個數.顯然,a=3,b=1就(jiù)是3x+1問題.

    ax+b問題就(jiù)是,對(duì)于任何一個正奇數x,經(jīng)過(guò)有限次的廣義C叠代最終是否可得到(dào)1?

    令人感到(dào)意外的是,ax+b問題有可能(néng)以否定的形式而解決,人們估計下面(miàn)的ax+b猜想是正确的:

    除了a=3,b=1(即3x+1問題)外,對(duì)于其他的正整數a,b(a>1,b為奇數)都(dōu)可以找到(dào)一個正奇數r,使得r的廣義C叠代中始終不出現1.

   對看 實際上,取r=bt(t為任意正奇數),則

    C(r)*2煙線^e(r)=ar+b=(at+1)b

    如果b>1,則C(r)必能(néng)被(bèi)b整除,從而r的廣義C數列各項都(dōu)能(néng)被(bèi)大于1的數b整除,永遠的不到(dào)1,此時(shí),猜想是正确的.

    如果b=1,則當a為偶數時(shí),C(x)*2^e(x)=ax+1恒為奇數且C數列是遞增的,C叠代不會(huì)得到(dào)1,而當a是奇數時(shí),ax+1猜想就(jiù)是:

    對(duì)于給定的奇數a>3,必定存在某個正奇數r,使得r的廣義C叠代,即C(x)=(ax+1)/2^e(x)不出現1.

   下資 1978年,克蘭多爾已經(jīng)證明,當a=5,181,1093時(shí)候,上述猜想是正确的.

    (1)5x+1問題:C(x)=(5x+1)/2^e(x)

    取r=13,則r的廣義C叠代數列是33,83,13,33,...出現循環(33,83,13),不出現1.

    (2)181x+1問題:C(x)=(181x+1)/2^e(x)

    取r=27,則r的廣義C叠代數列是611,27,611,27,...出現循環(611,27),不出現1.

    (3)10草小93x+1問題:C(x)=(1093x+1)/2^e(x)

　　取s=(2^364k-1)/1093(其中k為任意自然數),則1093+1=2^364k,故e(s)=364k,C(s)=1.可以證明這(zhè)是1093x+1問題中能(néng)達到(dào)1的僅有的一祖數,而對(duì)于其他任何正奇數r(不等于s),則C叠代可以無限地進(jìn)行下去,永遠得不到(dào)1.

    此外,有人研究了7x+1問題,對(duì)于r=3的叠代項數已經(jīng)超過(guò)姐有10²⁰⁰⁰,仍然看不出任何重複的迹象,看來7x+1猜想很可能(néng)也是正确的.但還(hái)沒(méi)有從理論上加以證明.

　　到(dào)目前為止,ax+1問題遠未解決.